Ders 8: Ki-kare Testi

MBG1032 Biyoistatistik - Doç.Dr.Alper YILMAZ - 5 Mayıs 2025

Özet

  • Ki-kare (χ²) testi nedir ve ne zaman kullanılır?
  • Ki-kare dağılımı
  • Ki-kare uygunluk testi (Goodness of Fit)
  • Ki-kare bağımsızlık testi (Test of Independence)
  • Ki-kare homojenlik testi (Test of Homogeneity)
  • Mendel’in çalışmaları ve Ki-kare testi
  • Ki-kare testinin varsayımları
  • R ile Ki-kare uygulamaları
  • Ki-kare sonuçlarının yorumlanması ve raporlanması
  • Biyolojide Ki-kare uygulama örnekleri

Ki-kare (χ²) Testi Nedir?

Ki-kare testi, kategorik değişkenler için kullanılan parametrik olmayan bir istatistiksel testtir.

Temel Amaç:

  • Gözlenen frekansların beklenen frekanslardan farklı olup olmadığını test etmek
  • Kategorik değişkenler arasında ilişki olup olmadığını incelemek

Kullanım Alanları:

  • Genetik çalışmalarda (alellik dağılımı, kalıtım paterni)
  • Epidemiyolojik araştırmalarda (hastalık-risk faktörü ilişkisi)
  • Sosyolojik çalışmalarda (anket verileri analizi)
  • Ekolojik çalışmalarda (türlerin habitat tercihleri)

Ki-kare (χ²) Dağılımı

Ki-kare dağılımı, bağımsız standart normal dağılmış değişkenlerin karelerinin toplamının dağılımıdır.

Özellikleri:

  • Sürekli bir dağılımdır
  • Sadece pozitif değerler alır (χ² ≥ 0)
  • Sağa çarpıktır (sağa kuyruklu)
  • Serbestlik derecesi (df) arttıkça normale yaklaşır
  • Tek parametreli bir dağılımdır: serbestlik derecesi (df)

Matematiksel İfade:

\(\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2\)

Burada \(Z_i\)’ler bağımsız standart normal değişkenlerdir.

Ki-kare Dağılımları

Görsel Kaynak: Wikimedia Commons

Ki-kare Testleri Türleri

Ki-kare testi, farklı amaçlar için kullanılabilir:

  1. Ki-kare Uygunluk Testi (Goodness of Fit):
    • Tek bir kategorik değişkenin gözlenen dağılımının, teorik veya beklenen bir dağılıma uyup uymadığını test eder.
    • Örnek: Mendel’in bezelye deneylerinde gözlenen fenotip oranlarının 3:1 teorik oranına uyup uymadığını test etmek.
  2. Ki-kare Bağımsızlık Testi (Independence Test):
    • İki kategorik değişken arasında ilişki olup olmadığını test eder.
    • Örnek: Cinsiyet ile belirli bir genetik hastalığın görülme sıklığı arasında ilişki olup olmadığını test etmek.
  3. Ki-kare Homojenlik Testi (Homogeneity Test):
    • Farklı popülasyonların bir kategorik değişken bakımından benzer dağılımlara sahip olup olmadığını test eder.
    • Örnek: Farklı coğrafi bölgelerdeki kan grubu dağılımlarının benzer olup olmadığını test etmek.

Ki-kare Uygunluk Testi

Amaç: Gözlenen frekansların teorik/beklenen bir dağılıma uygunluğunu test etmek.

Hipotezler:

  • H₀: Gözlenen frekanslar, beklenen dağılıma uygundur.
  • H₁: Gözlenen frekanslar, beklenen dağılımdan farklıdır.

Test İstatistiği: \(\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\)

Burada:

  • \(O_i\) = i. kategorideki gözlenen frekans
  • \(E_i\) = i. kategorideki beklenen frekans
  • \(k\) = kategori sayısı

Serbestlik Derecesi: df = k - 1 - m

  • \(k\) = kategori sayısı
  • \(m\) = tahmin edilen parametre sayısı

Mendel ve Ki-kare Testi

Gregor Mendel (1822-1884), modern genetiğin babası olarak kabul edilir. Bezelye bitkilerinde yaptığı deneyler ile kalıtım yasalarını keşfetmiştir.

Mendel’in Çalışmaları:

  • Yaptığı deneylerde, çeşitli özelliklerin (boy, çiçek rengi, tohum şekli) kalıtım paternlerini inceledi
  • Dominant ve resesif alelleri tanımladı
  • Monohybrid çaprazlamalarında 3:1 oranını gözlemledi (dominant:resesif)
  • Dihybrid çaprazlamalarında 9:3:3:1 oranını gözlemledi

Mendel’in Monohybrid Çaprazlaması ve Ki-kare Analizi

Senaryo: Mendel’in sarı (dominant, Y) x yeşil (resesif, y) bezelye tohumu çaprazlamasından sonra F2 nesilde gözlenen fenotipik oranları inceleyelim.

Mendel’in Teorik Beklentisi: 3:1 oranı (3 sarı : 1 yeşil)

Ki-kare ile ilgili R fonksiyonları

  • dchisq() - Ki-kare olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function)
    • Kullanım: dchisq(x, df) - belirli bir x değeri için olasılık yoğunluğunu hesaplar
    • Örnek: dchisq(5, df=3) - 3 serbestlik derecesinde x=5 için olasılık yoğunluğu
  • pchisq() - Ki-kare birikimli dağılım fonksiyonu (cumulative distribution function)
    • Kullanım: pchisq(q, df, lower.tail=TRUE) - q değerinden küçük veya eşit değerlerin olasılığı
    • Örnek: pchisq(7.81, df=3) - 3 serbestlik derecesinde 7.81’den küçük veya eşit değerlerin olasılığı
    • p-değerini bulmak için: pchisq(q, df, lower.tail=FALSE) - q değerinden büyük değerlerin olasılığı

  • qchisq() - Ki-kare dağılımının kantil fonksiyonu (quantile function)
    • Kullanım: qchisq(p, df, lower.tail=TRUE) - belirli bir olasılık değerine karşılık gelen Ki-kare değeri
    • Örnek: qchisq(0.95, df=3) - 3 serbestlik derecesinde %95’lik kantil değeri
  • rchisq() - Ki-kare dağılımından rastgele sayılar üretme
    • Kullanım: rchisq(n, df) - belirli bir serbestlik derecesi için n adet rastgele Ki-kare değeri
    • Örnek: rchisq(100, df=3) - 3 serbestlik derecesinde 100 rastgele değer
  • chisq.test() - Ki-kare testi yapma
    • Uygunluk testi için: chisq.test(x, p=NULL) - x vektörü ve beklenen olasılıklar
    • Bağımsızlık testi için: chisq.test(tablo) - iki yönlü kontenjans tablosu
    • Örnek: chisq.test(c(89, 37, 30), p=c(0.6, 0.2, 0.2))

R ile Ki-kare Uygunluk Testi

Mendel’in verilerini R’ın chisq.test() fonksiyonu ile analiz edelim:

Mendel’in Dihybrid Çaprazlaması

Senaryo: Mendel’in sarı-düzgün (YYRR) x yeşil-buruşuk (yyrr) bezelye tohumu çaprazlamasından sonra F2 nesilde gözlenen fenotipik oranları inceleyelim.

Mendel’in Teorik Beklentisi: 9:3:3:1 oranı

  • 9/16 Sarı-Düzgün (Y-R-)
  • 3/16 Sarı-Buruşuk (Y-rr)
  • 3/16 Yeşil-Düzgün (yyR-)
  • 1/16 Yeşil-Buruşuk (yyrr)

Ki-kare tablosu

PDF link

Ki-kare Bağımsızlık Testi

Amaç: İki kategorik değişken arasında anlamlı bir ilişki olup olmadığını test etmek.

Hipotezler:

  • H₀: İki değişken birbirinden bağımsızdır (ilişki yoktur).
  • H₁: İki değişken arasında bir ilişki vardır (bağımlıdır).

Test İstatistiği: \(\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\)

Burada:

  • \(O_{ij}\) = i. satır, j. sütundaki gözlenen frekans
  • \(E_{ij}\) = i. satır, j. sütundaki beklenen frekans
  • \(r\) = satır sayısı, \(c\) = sütun sayısı

Serbestlik Derecesi: df = (r - 1) × (c - 1)

Beklenen Frekansların Hesaplanması:

\(E_{ij} = \frac{(\text{i. satır toplamı}) \times (\text{j. sütun toplamı})}{\text{genel toplam}}\)

Örnek Ki-kare Bağımsızlık Testi: Kan Grubu ve Hastalık İlişkisi

Senaryo: Bir hastalığın görülme sıklığı ile kan grupları arasında bir ilişki olup olmadığını test etmek istiyoruz.

Görselleştirme

Bağımsızlık Testi Yorumlanması

p-değeri < 0.05 ise, iki değişken arasında anlamlı bir ilişki olduğu sonucuna varırız (H₀ reddedilir).

Ki-kare Testinin Varsayımları

Ki-kare testi, parametrik olmayan bir test olmasına rağmen, bazı varsayımlara dayanır:

  1. Bağımsızlık: Gözlemler birbirinden bağımsız olmalıdır.

  2. Rastgele Örnekleme: Veriler popülasyondan rastgele seçilmelidir.

  3. Kategorik Veri: Ki-kare testi yalnızca kategorik (nominal veya ordinal) verilere uygulanabilir.

  4. Yeterli Örnek Boyutu: Beklenen frekansların çoğu 5’ten büyük olmalıdır. Genellikle, beklenen frekansların en fazla %20’si 5’ten küçük olabilir ve hiçbir beklenen frekans 1’den küçük olmamalıdır.

Varsayımlar Karşılanmadığında:

  • Fisher’ın Kesin Testi (küçük örneklemler için)
  • Kategorileri birleştirerek beklenen frekansları artırmak

Fisher’ın Kesin Testi

Fisher’ın Kesin Testi, özellikle örneklem boyutu küçük olduğunda ve Ki-kare testinin varsayımları karşılanmadığında kullanılabilir.

Biyolojide Ki-kare Uygulamaları

Ki-kare testi, biyoloji alanında yaygın olarak kullanılır:

  1. Genetik Çalışmalar:
    • Mendel oranlarının test edilmesi
    • Genetik bağlantı analizleri
    • Hardy-Weinberg dengesinin test edilmesi
  2. Epidemiyoloji:
    • Hastalık-risk faktörü ilişkisi
    • Vaka-kontrol çalışmalarının analizi
    • Aşı etkinliğinin değerlendirilmesi
  3. Ekoloji:
    • Türlerin habitat tercihlerinin incelenmesi
    • Populasyon dağılımlarının analizi
    • Tür çeşitliliği çalışmaları
  4. Fizyoloji ve Davranış:
    • Davranış paternlerinin analizi
    • Tercih deneyleri
    • Fizyolojik yanıtların kategorik değerlendirilmesi

Hardy-Weinberg Dengesi ve Ki-kare Testi

Hardy-Weinberg dengesi, evrim geçirmeyen bir popülasyonda alel ve genotip frekanslarının sabit kalacağını belirten bir ilkedir.

Tek lokus, iki alel (A ve a) için:

  • p = A alel frekansı, q = a alel frekansı (p + q = 1)
  • Beklenen genotip frekansları: p² (AA), 2pq (Aa), q² (aa)

Ki-kare testi ile Hardy-Weinberg dengesi test edilebilir

Sonuçların Raporlanması

Akademik yayınlarda Ki-kare sonuçlarını nasıl raporlamalıyız?

Ki-kare Uygunluk Testi için: "Mendel’in monohybrid çaprazlama çalışmasındaki gözlenen fenotip dağılımının (sarı:yeşil) teorik 3:1 oranına uygunluğu Ki-kare uygunluk testi ile değerlendirilmiştir. Analiz sonucunda, gözlenen dağılımın teorik orana uygun olduğu bulunmuştur (χ²(1) = 0.25, p = 0.617)."

Ki-kare Bağımsızlık Testi için: "Kan grubu ile hastalık görülme sıklığı arasındaki ilişki Ki-kare bağımsızlık testi ile incelenmiştir. Analiz sonucunda, kan grubu ile hastalık arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki bulunmuştur (χ²(3) = 8.52, p = 0.036, Cramer’s V = 0.21). O kan grubuna sahip bireylerde hastalık görülme oranı, diğer kan gruplarına göre anlamlı derecede düşüktür."

Uygulama: Bitki Türü ve Habitat İlişkisi

Senaryo: Farklı bitki türlerinin farklı habitat tiplerine dağılımı arasında bir ilişki olup olmadığını test etmek istiyoruz.

Ki-kare Testi için Pratik İpuçları

  1. Doğru Ki-kare Testini Seçin:
    • Tek değişken için teorik dağılıma uygunluk → Ki-kare Uygunluk Testi
    • İki kategorik değişken arasındaki ilişki → Ki-kare Bağımsızlık Testi
    • Grup karşılaştırması → Ki-kare Homojenlik Testi
  2. Varsayımları Kontrol Edin:
    • Beklenen frekansların %80’i 5’ten büyük olmalı
    • Hiçbir beklenen frekans 1’den küçük olmamalı
    • Gözlemler bağımsız olmalı
  3. Küçük Örneklemlerde Dikkatli Olun:
    • 2×2 tablolarda Yates düzeltmesini kullanın
    • Fisher’ın Kesin Testini alternatif olarak düşünün
    • Gerekirse kategorileri birleştirin
  4. Anlamlı Sonuçlar İçin İlişkinin Gücünü Değerlendirin:
    • Cramer’s V veya Phi katsayısı gibi etki büyüklüğü ölçülerini kullanın
    • İstatistiksel anlamlılığın yanında biyolojik anlamlılığı da yorumlayın

Soru 1

Kan grupları ile ilgili yapılan bir çalışmada 400 kişiden toplanan veriler şu şekildedir:

  • A grubu: 180 kişi
  • B grubu: 90 kişi
  • AB grubu: 30 kişi
  • O grubu: 100 kişi

Normal teorik dağılım %40 A, %10 B, %5 AB ve %45 O grubu şeklindedir. Bu dağılımın teorik dağılıma uyup uymadığını test ediniz.

Soru 2

Bir moleküler biyolog, iki gen arasında bağlantı olup olmadığını test etmek istiyor. F2 neslinde gözlenen fenotipik oranlar şöyledir:

  • A-B-: 120 birey
  • A-bb: 40 birey
  • aaB-: 35 birey
  • aabb: 5 birey

Bağımsız kalıtım hipotezini (9:3:3:1 oranı) test ediniz.