Ders 7: ANOVA (Varyans Analizi)

MBG1032 Biyoistatistik - Doç.Dr.Alper YILMAZ

Özet

• ANOVA (Varyans Analizi) nedir ve ne zaman kullanılır?
• t-testi ile ANOVA arasındaki fark
• Tek Yönlü ANOVA (One-Way ANOVA)
• ANOVA’nın varsayımları
• F-dağılımı ve F-istatistiği
• R ile ANOVA uygulamaları
• ANOVA sonuçlarının yorumlanması ve raporlanması
• Post-hoc testleri (Tukey HSD, Bonferroni)
• Biyolojide ANOVA uygulamaları

ANOVA (Varyans Analizi) Nedir?

ANOVA, ikiden fazla grup ortalaması arasındaki farkların istatistiksel anlamlılığını değerlendirmek için kullanılan parametrik bir testtir.

Kullanım Amacı:

• İkiden fazla grubun karşılaştırılması
• Bir veya daha fazla faktörün (bağımsız değişkenlerin) bir bağımlı değişken üzerindeki etkisini incelemek
• Gruplar arası farklılıkların rastgele şans eseri mi yoksa gerçek bir etkiden mi kaynaklandığını belirlemek

Temel Fikir:

Gruplar arası varyans ile gruplar içi varyansı karşılaştırarak, faktörün anlamlı bir etkisi olup olmadığını belirlemek

t-testi vs. ANOVA

Neden ANOVA? Neden çoklu t-testi kullanmıyoruz?

• İkiden fazla grup olduğunda t-testi yerine ANOVA kullanılır
• Çoklu t-testleri yapmak, Tip I hata (yanlış pozitif) olasılığını artırır

Örnek: 3 grup karşılaştırması yapıyorsak:

• A vs B, A vs C, B vs C = 3 farklı t-testi
• Her test için α = 0.05 olsaydı, gerçekte:
  • En az bir testte yanlış pozitif bulma olasılığı: 1-(1-0.05)³ = 0.143

Tip I hata olasılığı 0.05 yerine 0.143’e çıkar!

ANOVA, bu "çoklu karşılaştırma problemini" çözer ve genel hata oranını kontrol altında tutar.

ANOVA Türleri

İstatistikte birçok ANOVA türü vardır:

1. Tek Yönlü ANOVA (One-Way ANOVA):
   • Tek bir faktörün etkisini incelemek için kullanılır
   • Örnek: Farklı gübre türlerinin (A, B, C) bitki büyümesine etkisi
2. İki Yönlü ANOVA (Two-Way ANOVA):
   • İki faktörün etkisini ve bu faktörlerin etkileşimini incelemek için kullanılır
   • Örnek: Hem gübre türünün hem de sulama sıklığının bitki büyümesine etkisi
3. Tekrarlı Ölçümler ANOVA (Repeated Measures ANOVA):
   • Aynı deneklerin farklı koşullarda veya zaman noktalarında ölçümlerini karşılaştırmak için kullanılır
   • Örnek: Aynı hastaların tedavi öncesi, tedaviden 1 ay sonra ve 3 ay sonraki değerlerinin karşılaştırılması

Bu derste ağırlıklı olarak Tek Yönlü ANOVA üzerinde duracağız.

Tek Yönlü ANOVA Modeli

Tek Yönlü ANOVA’da:

• Bir bağımlı değişken (sürekli)
• Bir kategorik faktör (bağımsız değişken)
• Her faktör seviyesi, bir grubu temsil eder

Matematiksel Model:

\[Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}\]

Burada:

• \(Y_{ij}\) = i. gruptaki j. gözlem
• \(\mu\) = genel ortalama
• \(\alpha_i\) = i. grubun etkisi (\(\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_k = 0\))
• \(\epsilon_{ij}\) = hata terimi (rastgele değişkenlik)

ANOVA’nın Hipotezleri

Sıfır Hipotezi (H₀): Tüm grup ortalamaları birbirine eşittir. \[H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k\]

Alternatif Hipotez (H₁): En az bir grup ortalaması diğerlerinden farklıdır.

\[H_1: \ ext{En az bir } \mu_i \ eq \mu_j \ ext{ (i ≠ j için)}\]

• Önemli Not: Alternatif hipotez, hangi grup ortalamalarının farklı olduğunu belirtmez, sadece en az bir farklılık olduğunu söyler.
• Hangi grup ortalamalarının farklı olduğunu belirlemek için, ANOVA’dan sonra post-hoc testleri kullanılır.

ANOVA’nın Varsayımları

ANOVA, t-testine benzer şekilde, bazı varsayımlar üzerine kuruludur:

1. Bağımsızlık: Gözlemler birbirinden bağımsız olmalıdır.

2. Normallik: Her gruptaki verilerin normal dağılması veya örneklem boyutunun yeterince büyük olması (n>30).

3. Varyansların Homojenliği (Homoscedasticity): Tüm gruplardaki varyansların yaklaşık olarak eşit olması.

Not: Varsayımlar karşılanmadığında, parametrik olmayan alternatifler düşünülmelidir (örn. Kruskal-Wallis testi).

Varyansların Ayrışımı

ANOVA’nın adı "Varyans Analizi"dir çünkü toplam varyansı iki bileşene ayırır:

1. Gruplar Arası Varyans (Between-Groups Variance):

• Grup ortalamalarının genel ortalamadan ne kadar farklı olduğunu gösterir
• Eğer büyükse, gruplar arasında gerçek farklılıklar olduğunu düşündürür

2. Gruplar İçi Varyans (Within-Groups Variance):

• Grup içindeki bireysel gözlemlerin, kendi grup ortalamasından ne kadar farklı olduğunu gösterir
• Rastgele hata veya faktör dışındaki etkilerden kaynaklanır

F-istatistiği = Gruplar Arası Varyans / Gruplar İçi Varyans

• F-değeri büyükse → Gruplar arasındaki farklılıklar, grup içi varyasyondan daha büyüktür → H₀ reddedilir

Kareler Toplamı

ANOVA’da varyans analizi için, kareler toplamı (Sum of Squares - SS) hesaplanır:

1. Toplam Kareler Toplamı (SST):

\[SST = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(Y_{ij} - \bar{Y})^2\]

2. Gruplar Arası Kareler Toplamı (SSB): \[SSB = \sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{Y}_i - \bar{Y})^2\]

3. Gruplar İçi Kareler Toplamı (SSW): \[SSW = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(Y_{ij} - \bar{Y}_i)^2\]

İlişki: SST = SSB + SSW

Ortalama Kareler ve F-İstatistiği

Kareler toplamı değerleri, ilgili serbestlik dereceleri ile bölünerek ortalama kareler (Mean Squares - MS) hesaplanır:

1. Gruplar Arası Ortalama Kareler (MSB): \[MSB = \frac{SSB}{k-1}\]

2. Gruplar İçi Ortalama Kareler (MSW): \[MSW = \frac{SSW}{N-k}\]

F-İstatistiği: \[F = \frac{MSB}{MSW}\]

Burada:

• k = grup sayısı
• N = toplam gözlem sayısı

F-değeri, α düzeyindeki kritik F-değeri ile karşılaştırılır. Eğer hesaplanan F-değeri kritik değerden büyükse, H₀ reddedilir.

F-Dağılımı

F-dağılımı, iki farklı varyans tahmininin oranı olarak hesaplanan F-istatistiği için örnekleme dağılımıdır.

Özellikleri:

• Sıfırdan büyük değerler alır (F ≥ 0)
• Sağa çarpık bir dağılımdır
• İki serbestlik derecesi parametresi vardır: df₁ (payda) ve df₂ (payda)
• H₀ doğruysa, F-değeri 1’e yakındır

ANOVA Tablosu

ANOVA sonuçları genellikle bir tablo ile özetlenir:

Varyasyon Kaynağı	SS	df	MS	F	p-değeri
Gruplar Arası (Between)	SSB	k-1	MSB = SSB/(k-1)	F = MSB/MSW	p
Gruplar İçi (Within)	SSW	N-k	MSW = SSW/(N-k)
Toplam	SST	N-1

• k = grup sayısı
• N = toplam gözlem sayısı
• p-değeri < α ise, H₀ reddedilir

R ile Tek Yönlü ANOVA

Örnek Senaryo: Üç farklı gübre türünün (A, B, C) domates bitkilerinin boy (cm) üzerindeki etkisini analiz edelim.

ANOVA Analizi

İstatistiksel değerleri görelim

Görselleştirme

Post-hoc Testleri

ANOVA, gruplar arasında bir fark olduğunu söyler, ancak hangi grupların farklı olduğunu söylemez. Bunu belirlemek için post-hoc testleri kullanılır.

En Yaygın Post-hoc Testleri:

• Tukey HSD (Honestly Significant Difference): Tüm olası ikili grup karşılaştırmalarını yapar ve aile bazında hata oranını kontrol eder.

• Bonferroni Düzeltmesi: Alfa (α) değerini karşılaştırma sayısına bölerek çoklu test problemini düzeltir.

• Scheffé Testi: Tüm olası grup karşılaştırmaları için uygundur, ancak genellikle daha muhafazakardır.

Not: Post-hoc testleri sadece ANOVA sonucu istatistiksel olarak anlamlıysa (p < 0.05) uygulanır.

Tukey HSD Post-hoc Testi

Post-hoc Testlerin Yorumlanması

Tukey HSD sonuçlarına göre:

• Gübre B - Gübre A: Gübre B, Gübre A’ya göre anlamlı şekilde daha yüksek bitki boylarına sahiptir (p < 0.001).
• Gübre C - Gübre A: Gübre C, Gübre A’ya göre anlamlı şekilde daha yüksek bitki boylarına sahiptir (p < 0.05).
• Gübre C - Gübre B: Gübre C ve Gübre B arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark yoktur (p > 0.05).

Genel Sonuç: * Gübre B ve Gübre C, Gübre A’dan daha etkilidir. * Gübre B ve Gübre C arasında anlamlı bir fark yoktur.

Sonuçların Raporlanması

Akademik yayınlarda ANOVA sonuçlarını nasıl raporlamalıyız?

"Gübre türünün domates bitkilerinin boyları üzerindeki etkisi, tek yönlü ANOVA ile değerlendirilmiştir. Gübre türünün bitki boyu üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir etkisi bulunmuştur, F(2, 21) = 16.44, p < 0.001. Post-hoc Tukey HSD testleri, Gübre B ile yetiştirilen bitkilerin (M = 77.75 cm, SD = 2.49) ve Gübre C ile yetiştirilen bitkilerin (M = 71.50 cm, SD = 2.45), Gübre A ile yetiştirilen bitkilerden (M = 68.38 cm, SD = 2.67) anlamlı şekilde daha uzun olduğunu göstermiştir (sırasıyla p < 0.001 ve p < 0.05). Gübre B ve Gübre C arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunmamıştır (p = 0.094)."

Biyolojide ANOVA Uygulamaları

ANOVA, biyoloji ve tıpta yaygın olarak kullanılan bir analiz yöntemidir:

1. Farklı İlaç Tedavilerinin Karşılaştırılması:
   • Üç veya daha fazla farklı ilacın etkinliğinin karşılaştırılması
2. Gen Ekspresyon Analizi:
   • Farklı deneysel koşullar altında gen ekspresyon seviyelerinin karşılaştırılması
3. Ekolojik Çalışmalar:
   • Farklı habitatlardaki biyoçeşitliliğin karşılaştırılması
4. Enzim Kinetik Çalışmaları:
   • Farklı pH değerlerinde enzim aktivitelerinin karşılaştırılması
5. Büyüme ve Gelişim Çalışmaları:
   • Farklı besin veya hormon uygulamalarının büyüme üzerindeki etkisinin incelenmesi

Gerçek Veri Üzerinde Uygulama: iris Veri Seti

Şimdi, iris veri setinde üç farklı Iris türünün (setosa, versicolor, virginica) taç yaprak (petal) boylarını karşılaştıralım.

Görselleştirme ve Post-hoc Test

Tek Yönlü ANOVA için Pratik İpuçları

1. Veri Hazırlığı ve Kontroller:
   • Aykırı değerleri belirleyin ve ele alın
   • Normallik ve varyans homojenliği varsayımlarını kontrol edin
   • Veri yapısının tek yönlü ANOVA’ya uygun olduğunu doğrulayın
2. Analiz ve Sonuçlar:
   • Sadece p-değerine değil, etki büyüklüğüne de bakın (η²)
   • ANOVA anlamlıysa, post-hoc testleri uygulayın
   • Bulguları biyolojik/pratik anlamlılık açısından yorumlayın
3. Varsayımlar Karşılanmadığında:
   • Veri dönüşümleri deneyin (log, karekök vb.)
   • Parametrik olmayan alternatifleri kullanın (Kruskal-Wallis testi)
   • Robust ANOVA yöntemlerini düşünün

İki Yönlü ANOVA Hakkında Kısa Bilgi

İki Yönlü ANOVA, iki faktörün ve bunların etkileşiminin etkisini analiz eden bir yöntemdir.

Örnek: Hem gübre türünün (A, B, C) hem de sulama sıklığının (günlük, haftalık) domates bitkilerinin boyuna etkisini incelemek istiyoruz.

İki Yönlü ANOVA Modeli: \[Y_{ijk} = \\mu + \\alpha_i + \\beta_j + (\\alpha\\beta)_{ij} + \\epsilon_{ijk}\]

• \(\\mu\) = genel ortalama
• \(\\alpha_i\) = ilk faktörün etkisi (gübre türü)
• \(\\beta_j\) = ikinci faktörün etkisi (sulama sıklığı)
• \((\\alpha\\beta)_{ij}\) = faktörler arası etkileşim
• \(\\epsilon_{ijk}\) = hata terimi

İki Yönlü ANOVA ile üç hipotezi test ederiz: 1. İlk faktörün ana etkisi (\(H_0: \\alpha_1 = \\alpha_2 = ... = \\alpha_a = 0\)) 2. İkinci faktörün ana etkisi (\(H_0: \\beta_1 = \\beta_2 = ... = \\beta_b = 0\)) 3. Faktörler arası etkileşim (\(H_0: (\\alpha\\beta)_{ij} = 0 \ ext{ tüm } i, j \ ext{ için}\))

Özet: ANOVA’nın Avantajları ve Sınırlamaları

Avantajlar: * İkiden fazla grubu aynı anda karşılaştırabilme * Tip I hata oranını kontrol etme * Kategorik faktörlerin sürekli değişkenler üzerindeki etkisini inceleme

Sınırlamalar: * Sadece ortalamaları karşılaştırır, dağılımlardaki diğer farklılıkları görmez * Parametrik bir test olarak, belirli varsayımlara dayanır * Grup farkını bulur ancak hangi grupların farklı olduğunu belirtmez (post-hoc testleri gerekir)

ANOVA’nın Ötesinde: * İki faktörlü çalışmalar için İki Yönlü ANOVA * Tekrarlı ölçümler için Tekrarlı Ölçümler ANOVA